জটিল রাশির বীজগণিত (Algebra Of Complex Number)

1.   দুটি জটিল রাশির যোগফল (Addition Of Two Complex Numbers)

ধরি  এবং  দুটি জটিল রাশি। এদের যোগফল তথা সমষ্টি -ও একটি জটিল রাশি হৱে।

v জটিল রাশির যোগফলের ধর্ম (Properties Of Addition Of Complex Numbers)

a) বিনিময় সূত্র (Commutative Law) :

b) সংযোগ সূত্র (Associative Law) :

c) যোগজ বিপরীত (Additive Inverse) : যে কোনো জটিল রাশি -এর যোগজ বিপরীত (Additive Inverse)বলতে অপর একটি জটিল রাশি  -কে বোঝায় যাতে  হয়।

2.   দুটি জটিল রাশির বিয়োগফল (Subtraction Of Two Complex Numbers)

ধরি  এবং  দুটি জটিল রাশি। এদের বিয়োগফল -ও একটি জটিল রাশি হৱে।

3.   দুটি জটিল রাশির গুনফল (Multiplication Of Two Complex Numbers)

ধরি  এবং  দুটি জটিল রাশি। এদের গুনফল -ও একটি জটিল রাশি হৱে।

জটিল রাশির গুনফলের ধর্ম (Properties Of Multiplication Of Complex Numbers)

a) বিনিময় সূত্র (Commutative Law) :

b) সংযোগ সূত্র (Associative Law) :

c) বন্টন সূত্র (Distributive Law) :

d) গুণজ বিপরীত (Multiplicative Inverse) : যে কোনো জটিল রাশি -এর গুণজ বিপরীত(Multiplicative Inverse)বলতে অপর একটি জটিল রাশি -কে বোঝায় যাতে  হয়।

4.   দুটি জটিল রাশির ভাগফল (Division Of Two Complex Numbers)

ধরি  এবং  দুটি জটিল রাশি। এদের ভাগফল -ও একটি জটিল রাশি হৱে।

জটিল রাশির বর্গমূল নির্ণয় (To Find The Square Root Of a Complex Number)

ধরি  একটি জটিল রাশি, যার বর্গমূল , যেখানে  বাস্তব সংখ্যা।

এখন,  

বা,  

বা,  

বা,  

বা,  

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ তুলনা করে পাই,

 ………… (i)

এবং  ………… (ii)

এখন  

বা,  

বা,  

বা,    [ ]

বা,  

বা,  [ ] ………… (iii)

(i)ও (iii) সমাধান করে পাই,

              

বা,         

(i)         যদি  হয়, তবে (ii) নং থেকে বোঝা যায় যে  উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়ই ঋনাত্মক হবে।

সুতরাং

 

(ii)        যদি  হয়, তবে (ii) নং থেকে বোঝা যায় যে  পরস্পর বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হবে।

সুতরাং

 

1-এর ঘনমূল নির্নয় (To Find The Cube Root Of Unity)

ধরা যাক 1-এর ঘনমূল

অর্থাৎ,

বা.

বা.

বা.

হয়,         অথবা, 

বা,                                    বা,

   বা,  

   বা,  

সুতরাং 1-এর তিনটি ঘনমূল হল  এবং

অতএব 1-এর ঘনমূল তিনটির মধ্যে একটি বাস্তব এবং বাকি দুটি কাল্পনিক। এই দুটি ঘনমূলকে 1-এর অবাস্তব বা কাল্পনিক ঘনমূল বলে।

1-এর বাস্তব ঘনমূল হল  এবং 1-এর অবাস্তব ঘনমূল হল  এবং

1-এর ঘনমূল তিনটির ধর্ম (Properties Of Cube Root Of Unity)

1. 1-এর কাল্পনিক ঘনমূলদ্বয় একটি অপরটির বর্গ

প্রমাণ :- 1-এর অবাস্তব ঘনমূল দুটি হল  এবং

এখন

    

    

  

আবার

    

    

            

1-এর অবাস্তব ঘনমূল দুটির একটিকে  এবং অপরটিকে  বলা হয়ে থাকে।

2. 1-এর কাল্পনিক ঘনমূল দুটি পরস্পরের অনুবন্ধী

প্রমাণ :- 1-এর অবাস্তব ঘনমূল দুটি হল  এবং

এখন  

     

      

আবার  

     

      

 1-এর কাল্পনিক ঘনমূল দুটি পরস্পরের অনুবন্ধী।

3. 1-এর কাল্পনিক ঘনমূল দুটির গুনফল 1 হয়

প্রমাণ :- 1-এর অবাস্তব ঘনমূল দুটি হল  এবং

এখন

  বা,  

  বা,  

  বা,

Ø 1-এর ঘনমূল তিনটির গুনফল 1 হয়।

4. 1-এর ঘনমূল তিনটির যোগফল 0 হয়

প্রমাণ :- 1-এর ঘনমূল তিনটি হল  এবং

এখন

 

 

1-এর ঘনমূল তিনটির যোগফল 0 হয়।

5. 1-এর কাল্পনিক ঘনমূল দুটি পরস্পরের অন্যোন্যক

প্রমাণ :- 1-এর অবাস্তব ঘনমূল দুটি হল  এবং

এখন

বা,  

বা,  

বা,  

বা,  

বা,  

বা,  

   

অনুরূপ ভাবে প্রমান করা যায় যে,

1-এর কাল্পনিক ঘনমূল দুটি পরস্পরের অন্যোন্যক।

একটি বাস্তব সংখ্যার ঘনমূল নির্ণয় (To Find The Cube Root Of a Real Number)

ধরা যাক  একটি বাস্তব সংখ্যা এবং -এর ঘনমূল

অর্থাৎ,

বা.

বা.

এই সমীকরণের বীজগুলি হল  এবং

অতএব -এর ঘনমূল তিনটির মধ্যে একটি বাস্তব এবং বাকি দুটি কাল্পনিক। এই দুটি ঘনমূলকে -এর অবাস্তব বা কাল্পনিক ঘনমূল বলে।

-এর বাস্তব ঘনমূল হল  এবং -এর অবাস্তব ঘনমূল হল  এবং

উদাহরণ :-

                                                      I.            -এর ঘনমূলগুলি হবে  এবং

                                                   II.            -এর ঘনমূলগুলি হবে  এবং

1-এর ঘনমূলের জ্যামিতিক প্রকাশ (The Geometrical Representation Of Cube Root Of Unity)

যেহেতু

 

    

    

    

এবং  

    

    

    

অতএব -এরা জটিল তলে  অর্থাৎ  বৃত্তের ওপর অবস্থিত।

অবার

   

   

   

       

       

       

 

    

    

    

 

   

   

   

       

       

       

অতএব -এরা জটিল তলে একটি সমবাহু ত্রিভূজের তিনটি শীর্ষবিন্দু সূচিত করে, যার বাহুর দৈর্ঘ্য  একক।